|
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۱
۱- دستگاههای زیر را حل کنید.
۱) $$\begin{cases} 2(x - y) + 3y = 4 \\ 3x - 2(2x - y) = 7 \end{cases}$$
۲) $$\begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{y - 1}{3} = \frac{1}{6} \\ x + y = 4 \end{cases}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۱
سلام به دانشآموزان عزیز! برای حل این دستگاهها ابتدا باید آنها را ساده و به فرم استاندارد تبدیل کنیم.
**حل دستگاه ۱:**
ابتدا عبارتهای داخل پرانتز را پخش میکنیم:
* معادله اول: $$2x - 2y + 3y = 4 \Rightarrow 2x + y = 4$$
* معادله دوم: $$3x - 4x + 2y = 7 \Rightarrow -x + 2y = 7$$
حالا دستگاه ساده شده را حل میکنیم. برای حذف $x$، معادله دوم را در $2$ ضرب میکنیم:
$$\begin{cases} 2x + y = 4 \\ -2x + 4y = 14 \end{cases}$$
با جمع دو معادله داریم: $$5y = 18 \Rightarrow y = \frac{18}{5} = 3.6$$
با جایگذاری در معادله اول: $$2x + 3.6 = 4 \Rightarrow 2x = 0.4 \Rightarrow x = 0.2$$
**جواب:** $$x = 0.2 , y = 3.6$$
**حل دستگاه ۲:**
ابتدا معادله اول را در مخرج مشترک یعنی $6$ ضرب میکنیم تا کسری نباشد:
$$3(x - 1) - 2(y - 1) = 1 \Rightarrow 3x - 3 - 2y + 2 = 1 \Rightarrow 3x - 2y = 2$$
حالا دستگاه به این صورت است:
$$\begin{cases} 3x - 2y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}$$
معادله دوم را در $2$ ضرب میکنیم: $$2x + 2y = 8$$.
با جمع با معادله اول: $$5x = 10 \Rightarrow x = 2$$.
با جایگذاری در معادله دوم: $$2 + y = 4 \Rightarrow y = 2$$.
**جواب:** $$x = 2 , y = 2$$
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۲
۲- یک جواب برای $x$ و $y$ طوری تعیین کنید که تساوی زیر برقرار باشد.
$$2^{2x - y - 2} = 3^{x + y - 1}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۲
در این سوال جالب، پایه سمت چپ $2$ و پایه سمت راست $3$ است. چون پایهها برابر نیستند، تنها حالتی که این دو عبارت با هم برابر میشوند این است که هر دو توان برابر با **صفر** باشند.
زیرا میدانیم هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر با $1$ است ($2^0 = 1$ و $3^0 = 1$). پس باید دستگاه زیر را تشکیل دهیم:
$$\begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x - y = 2 \\ x + y = 1 \end{cases}$$
با جمع کردن این دو معادله، مجهول $y$ حذف میشود:
$$3x = 3 \Rightarrow x = 1$$
حالا مقدار $x$ را در معادله دوم قرار میدهیم:
$$1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$$
**نتیجه:** اگر $$x = 1$$ و $$y = 0$$ باشد، هر دو طرف تساوی برابر با $1$ شده و تساوی برقرار میماند.
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۳
۳- معادلۀ خطی بنویسید که از محل برخورد دو خط $x - y = 1$ و $x + y = 1$ بگذرد و شیب آن $-\frac{2}{3}$ باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۳
این مسئله دو مرحله دارد:
**گام اول: یافتن نقطه برخورد**
باید دستگاه دو خط داده شده را حل کنیم:
$$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$$
با جمع دو معادله: $$2x = 2 \Rightarrow x = 1$$.
با جایگذاری در معادله دوم: $$1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$$.
پس نقطه برخورد $$A = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ است.
**گام دوم: نوشتن معادله خط جدید**
فرمول کلی خط $$y = ax + b$$ است. شیب را داریم ($$a = -\frac{2}{3}$$). نقطه را هم جایگذاری میکنیم:
$$0 = -\frac{2}{3}(1) + b \Rightarrow b = \frac{2}{3}$$
**معادله نهایی:** $$y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$$
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۴
۴- در معادلۀ $y = ax + 1$ اگر به جای $a$ عددهای مختلفی قرار دهیم، معادلۀ خطهای زیادی به دست میآید. به ازای $a = 1$ و $a = 2$ و $a = -1$ این خطها را رسم کنید؛ این خطوط چه ویژگی مشترکی دارند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۴
بیایید خطوط را تشکیل دهیم:
* برای $a = 1$: $$y = x + 1$$
* برای $a = 2$: $$y = 2x + 1$$
* برای $a = -1$: $$y = -x + 1$$
**ویژگی مشترک:**
اگر به هر سه معادله دقت کنید، عدد ثابت (عرض از مبدأ) در همه آنها برابر با **$1$** است.
این یعنی تمام این خطوط محور عرضها را در نقطه **$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$** قطع میکنند.
در واقع این دستهای از خطوط است که حول نقطه $(0, 1)$ دوران میکنند.
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۵
۵- در یک مزرعه، ۲۰ شترمرغ و گاو وجود دارد. پاهای آنها ۵۶ عدد است. در این مزرعه چند شترمرغ و چند گاو وجود دارد؟ (شترمرغ ۲ پا و گاو ۴ پا دارد)
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۵
بیایید این مسئله را به زبان ریاضی و با دستگاه معادلات حل کنیم:
* تعداد شترمرغها را $x$ و تعداد گاوها را $y$ در نظر میگیریم.
**تشکیل دستگاه:**
۱. مجموع تعداد حیوانات ۲۰ است: $$x + y = 20$$
۲. مجموع تعداد پاها ۵۶ است: $$2x + 4y = 56$$
**حل دستگاه:**
معادله اول را در (۲-) ضرب میکنیم تا $x$ حذف شود:
$$\begin{cases} -2x - 2y = -40 \\ 2x + 4y = 56 \end{cases}$$
با جمع دو معادله: $$2y = 16 \Rightarrow y = 8$$ (تعداد گاوها)
با جایگذاری در معادله اول: $$x + 8 = 20 \Rightarrow x = 12$$ (تعداد شترمرغها)
**پاسخ:** در این مزرعه **۱۲ شترمرغ** و **۸ گاو** وجود دارد.
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۶
۶- دستگاه معادلۀ خطی زیر را از دو روش حذفی و ترسیمی حل کنید.
$$\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases}$$
آیا این دستگاه جواب دارد؟ شیب هر دو خط را به دست آورید. توضیح دهید چرا نقطۀ مشترکی به عنوان جواب معادله به دست نمیآید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۶
این یک دستگاه خاص است. بیایید بررسی کنیم:
**۱. روش حذفی:**
معادله اول را در (۲-) ضرب میکنیم تا $x$ حذف شود:
$$\begin{cases} -4x + 6y = -14 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases}$$
با جمع دو معادله به عبارت عجیب $$0 = -9$$ میرسیم! این یعنی دستگاه **جواب ندارد**.
**۲. بررسی شیب خطوط:**
* خط اول: $$3y = 2x - 7 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{7}{3}$$ (شیب = $$\frac{2}{3}$$)
* خط دوم: $$6y = 4x - 5 \Rightarrow y = \frac{4}{6}x - \frac{5}{6} = \frac{2}{3}x - \frac{5}{6}$$ (شیب = $$\frac{2}{3}$$)
**توضیح مفهومی:**
چون شیب هر دو خط با هم برابر ($$\frac{2}{3}$$) است ولی عرض از مبدأ آنها متفاوت است، این دو خط با هم **موازی** هستند.
دو خط موازی هیچگاه یکدیگر را قطع نمیکنند، بنابراین هیچ نقطه مشترکی وجود ندارد و دستگاه فاقد جواب است.
ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۷
۷- مجموع سن علی و پدرش ۷۰ سال و اختلاف آنها ۲۶ سال است. سن هر یک را با تشکیل دستگاه معادلات به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۲ - تمرین ۷
سن پدر را $x$ و سن علی را $y$ فرض میکنیم.
**تشکیل دستگاه:**
$$\begin{cases} x + y = 70 \\ x - y = 26 \end{cases}$$
**حل دستگاه:**
در اینجا مجهول $y$ خودش قرینه است، پس مستقیم دو معادله را جمع میکنیم:
$$2x = 96 \Rightarrow x = 48$$ (سن پدر)
حالا مقدار $x$ را در معادله اول قرار میدهیم تا سن علی پیدا شود:
$$48 + y = 70 \Rightarrow y = 70 - 48 = 22$$ (سن علی)
**پاسخ:** پدر **۴۸** سال و علی **۲۲** سال سن دارند.
